Теория вероятности в азартных играх

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АЗАРТНЫХ ИГР

“Человек играет только тогда,

когда он в полном значении

слова человек, и он бывает

вполне человеком лишь тогда,

Считается, что итальянский математик, физик и астролог Д.Кардано первым провел математический анализ игр в кости в 1526 году. Он применил теоретическую аргументацию и собственную обшир­ную игровую практику для создания своей теории вероятностей, на основе которой давал советы ученикам, как делать ставки. Г.Гали­лей возобновил исследование игр в кости в конце XVI века. Б.Пас­каль сделал то же самое в 1654 году. И оба – по настоянию азарт­ных игроков, раздосадованных разочарованием и большими затратами при игре в кости. Расчеты Галилея были в точности такими же, ка­кие применили бы современные математики. Таким образом, наука о вероятностях стала, наконец, на твердый путь. Громадное развитие теория получила в середине XVII века в манускрипте Х.Гюйгенса “Размышления по поводу игр в кости”. Исторически наука о вероят­ностях, таким образом, обязана своим происхождением низменным проблемам азартных игр.

Что же представляют собой такие “близкие” всем игрокам поня­тия как случайности, вероятности, шансы?

Вероятность благоприятного исхода из всех возможностей может быть выражена следующим образом: вероятность (р) равна общему числу благоприятных исходов (f), деленному на общее число таких возможностей (t), или p = f/t. Но это верно лишь для случаев, когда ситуация основана на чистой случайности и все исходы равно­вероятны. Например, при играх с двумя костями общее число возмож­ных результатов составляет 36 (каждая из шести граней одной кости с каждой из шести граней второй), а число способов выбросить, скажем, семь – всего 6 (1 и 6, 2 и 5, 3 и 4, 4 и 3, 5 и 2, 6 и 1). Таким образом, вероятность получения числа 7 – 6/36 или 1/6 (или около 0,167).

В большинстве азартных игр обычно выражают идею вероятности в “соотношении против выигрыша”. Это просто отношение неблагопри­ятных возможностей к благоприятным. Если вероятность выбросить семерку равна 1/6, тогда из каждых шести бросков “в среднем” один будет благоприятным, а пять – нет. Таким образом, соотношение против получения семерки будет пять к одному. Вероятность того, что при подбрасывании монеты выпадет “орел” – одна вторая; соот­ношение будет 1 к 1. Такое соотношение называется “равным”. нужно осторожно относиться к выражению “в среднем”. Оно, опять-таки, относится с большой точностью лишь к большому числу случаев, но не пригодно в отдельных случаях. Общее заблуждение всех азартных игроков, называемое “доктриной повышения шансов” (или “заблужде­нием Монте-Карло”), состоит в предположении, будто каждая партия в азартной игре не является независимой от других и что серия ре­зультатов одного рода должна быть сбалансирована в скором времени другими возможностями. Игроками был изобретен целый ряд “систем”, основанных, главным образом, на этом ошибочном заблуждении. Ра­ботники казино всячески способствуют применению таких систем, чтобы использовать в своих целях пренебрежение игроками строгих законов вероятности и отдельных игр.

В некоторых играх преимущество может принадлежать крупье или банкомету (лицу, которое собирает и перераспределяет ставки), или какому-либо другому участнику. Поэтому не все играющие имеют оди­наковые шансы на выигрыш или на равные выплаты. Это неравенство может быть скорректировано путем поочередной смены позиций игро­ков в игре. Однако работники коммерческих игорных предприятий, как правило, получают прибыль, регулярно занимая выгодные позиции в игре. Они могут также взимать плату за право на игру либо изы­мать определенную долю банка в каждой игре. Заведение, в конечном счете, всегда должно оставаться в выигрыше.

Некоторые казино вводят также правила, увеличивающие их до­ходы, в особенности – правила, лимитирующие величину ставок при особых обстоятельствах.

Многие азартные игры включают элементы физической трениро­ванности или стратегии при присутствии элемента случайности. Игра “покер”, как и многие другие карточные игры, является смесью слу­чая и стратегии. Ставки на бегах и атлетических соревнованиях включают учет физических возможностей и других элементов мастерс­тва соревнующихся. Чтобы убедить участников в том, что случай играет важную роль в определении исхода таких игр, могут вводить­ся такие коррективы, как вес, препятствия и т.п., дабы дать со­ревнующимся примерно равные шансы на победу. Могут также вводить­ся поправки при выплатах таким образом, чтобы вероятность успеха и величина выплаты были обратно пропорциональны друг другу. Нап­ример, тотализатор на бегах отражает, как оцениваются участниками шансы различных лошадей.

Индивидуальные выплаты велики для тех, кто ставил на выигрыш лошадей, на которых ставили немногие, и невелики в тех случаях, когда выигрывает лошадь, на которую сделано много ставок. Чем бо­лее популярен выбор, тем ниже индивидуальный выигрыш. То же пра­вило верно и для ставок у букмекеров на атлетических соревновани­ях (запрещенных в большинстве штатов США, но узаконенных в Анг­лии). Букмекеры обычно принимают ставки на результат матча, счи­тающегося соревнованием неравных противников, требуя, чтобы сто­рона, чья победа более вероятна, не просто победила, а набрала перевес в определенное количество очков. При игре в американский или канадский футбол, например, команда, которая оценивается бо­лее высоко, должна будет набрать, скажем, более десяти очков, чтобы принести равные выплаты тем, кто на нее ставил.

К сожалению, во все эти процедуры, поддерживающие влияние случая, можно вмешиваться. Мошенничество возможно и вполне веро­ятно во всех видах азартных игр. В большой степени позорное клей­мо на азартных играх является результатом нечестности их органи­заторов, и большая часть законодательных запретов имеет целью предотвращение мошенничества. Однако усилия многих правительств были направлены, главным образом, не на предотвращение мошенни­чества, а на сбор возможно больших налогов с игорных предприятий. Налоги могут взиматься в зависимости от прибыли владельцев заве­дения или с игроков, а также прямо с оборота игорного банка или тотализатора.

Теория принятия правильных решений – в известном роде, проб­лема самой природы. Само слово “игра”имеет множество значений. Им можно обозначить как любое занятие во время досуга, так и любую социальную активность человека. Так можно обозначить партию в шахматы или шашки, можно определить действия в сфере политики, где кандидат вступает в “игру” со своими избирателями и конкурен­тами. Оно может быть использовано в экономике, когда речь идет, например, о выходе на рынок. Итак, слово “игра” применимо к любо­му виду человеческой деятельности, который вызван какими-либо ин­тересами, в котором поведение индивида продиктовано размышлением, хитростью или даже мимолетным настроением. Можно сказать, что иг­рать – значит жить или, вернее, жить – означает играть.

Читайте также:  Слот вояджер казино играть

Таким образом, поиски “теории игр” могут показаться бессмыс­ленными. Между тем, размышление ведет человека к попыткам абстра­гирования данных, которое помогает сосредоточиться на сути проб­лемы. Часто нужно выбирать между элементами множества возможнос­тей, чьи исходы заранее известны. Это случай игр “в открытую”, как, например, партия в шашки или шахматы, где точно известны ре­зультаты перемещения каждой фигуры. Но можно и не владеть всеми данными ситуации. Таков случай игры в карты, основанной на пред­положении и недостаточной информации. Таким образом, здесь необ­ходимо выбирать среди множества ситуаций, чей исход известен не полностью. В этом случае приходится создавать гипотезы вероятных исходов. Выбор в такой ситуации вводит нас, в свою очередь, в очередной виток вероятностей. Ход такой игры: от вероятности к вероятности. Делая возможные предположения, сложные вероятности можно вычислять из более простых вероятностей по формуле условных вероятностей:

Р(В/А) – вероятность события В при условии, что событие А произошло (условная вероятность);

Р(АВ) – безусловная вероятность того, что произойдут как со­бытие А, так и событие В;

Р(А) – безусловная вероятность того, что событие А произошло.

Аналогично существует и правило сложения вероятностей вида:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ), где

Р(А+В) – безусловная вероятность того, что произойдет или событие А, или событие В;

Р(А) и Р(В) – безусловные вероятности событий А и В.

Теория вероятностей позволяет дать математическую формулу науки о поведении, когда известны вероятности различных эпизодов, которые определяют ход игры. Таким образом, теория игр пытается с помощью вероятностей или других понятий сконструировать модель, представляющую наиболее целесообразную деятельность человека и позволяющую установить схему, которая с наибольшей вероятностью приведет к желаемому исходу. Основная разница между игрой (вер­нее, ее моделью) и человеческой деятельностью состоит в ограни­ченности игры рамками времени, в то время как человеческая дея­тельность практически этим не лимитирована, как, например, эконо­мическая активность. Эта разница определяет огромное препятствие применению теории игр в реальной жизни. Таким образом, когда го­ворят об “игре”, это означает, что имеют в виду конкретную “пар­тию” этой “игры”, имеющую начало и конец.

Игра может быть рассмотрена как схема ограниченного характе­ра, где осуществляют себя различные воли или же различные интере­сы. Эти стремления могут вступать в конфликт, помогать друг дру­гу, перекрещиваться между собой, развиваться более или менее не­зависимо и иметь в своем распоряжении различные средства (улов­ки).

Для того, чтобы добиться выигрыша, нужно обмануть противни­ка; это становится сложней, когда игра уже началась, потому что партнеры лучше узнают особенности друг друга уже в ходе игры. Шаг за шагом уловки раскрываются, и осторожность увеличивается. К то­му же в некоторых играх уловка полностью раскрывается самой при­родой игры: это шашки, шахматы или игры, где известны кости обоих противников. Вводится “уловка” и в карточную игру в качестве за­конного средства борьбы, особенно это распространено в покере, где используется “блеф”, с которым хорошо знакомы опытные игроки, сознательно использующие его для выигрыша в тех случаях, когда объективное соотношение сил предполагает проигрыш.

Необходимое условие для использования теории “уловки” – не­достаточная информация игроков друг о друге. В этом случае “улов­ка” состоит в отгадывании намерений противника при условии сокры­тия своих намерений: “уловка” позитивная и “уловка” негативная. Тактика каждого игрока должна быть очень гибкой, и одна и та же “уловка” не должна использоваться много раз, иначе она сама ста­нет “тактикой” и возвратится, как бумеранг, “в лоб” использующему ее. Игрок должен стремиться модифицировать свою игру сообразно реакции своего противника, делая каждый раз наиболее удачный для данной ситуации выбор: отсюда происходит вероятность вероятнос­тей.

Приведем пример удачного выбора из неудачной ситуации на ос­нове одного из рассказов о Шерлоке Холмсе. Преследуемый профессо­ром Мориарти, Холмс сел в поезд, следовавший из Лондона в Дувр через Кентербери. Но, садясь в поезд, он заметил, что и Мориарти находится в поезде. Холмс знал, что, если он сойдет одновременно с Мориарти, он наверняка будет убит. Ему нужно было добраться до Дувра одному, чтобы сесть на пароход, следующий через пролив. Возникают следующие возможные варианты:

а) Холмс выходит в Дувре;

b) Холмс выходит в Кентербери;

с) Мориарти выходит в Кентербери;

d) Мориарти выходит в Дувре.

Итогом, с точки зрения Холмса, могут быть:

1) полный успех: ас

2) частичный успех: bd

3) поражение: аd или bc.

Эти три исхода, с точки зрения предпочтений Холмса, последо­вательно убывают как достойные выбора, последний исход – наихуд­ший. Система предпочтений Мориарти противоположна системе Холмса. Сразу очевидна трудность выбора из-за недостатка информации. Ре­шение и для Холмса, и для Мориарти – результат случайного выбора, играющий роль оборонительной тактики. Хорошо подготовленный, каж­дый настороженно ждет малейшего упущения противника, чтобы тотчас перейти в наступление. Но, помимо этой возможной ошибки, случай ведет игру.

Теория вероятностей с определённой степенью надёжности может предсказать численные показатели таких разнородных событий, как рождаемость людей и урожай зерновых, время появления пятен на Солнце и котировку акций на фондовом рынке, результаты выборов и рост населения и многое другое.

Читайте также:  Промокод на победу

А ведь все началось с такого малопочтенного занятия, как азартные игры. И потому приведем немного исторических фактов о том, почему умные и благородные люди углубились в изучение проблемы, связанной с повышением вероятности выигрыша в азартных играх.

Теория вероятностей как наука зародилась в середине XVII – начале XVIII века. У ее истоков стояли такие выдающиеся ученые как Пьер Ферма, Блез Паскаль и Христиан Гюйгенс.

Толчком к тому, чтобы они занялись проблемой азартных игр, явился кавалер де Мере, обратившийся с письмом к Паскалю по поводу так называемой «задачи об очках».

Де Мере – философ и литератор – интересовался математикой и состоял в переписке со многими видными учеными своего времени.

В письме к Паскалю он пишет: «Вы знаете, что я открыл редкие вещи, которые почтенные математики никогда не обсуждали. О моих открытиях писали Вы, Ферма и Гюйгенс, которые ими восхищались. Эта наука имеет много любопытных вещей, но которые мне кажутся не очень полезными».

Вот суть первой задачи, с которой де Мере обратился к Паскалю. Двое бросают игральную кость, которая, как хорошо известно любому ребенку, представляет собой кубик с нанесенными на его грани точками – от 1 до 6. При бросании наверху может оказаться любая грань. Предположим, что для выигрыша вам нужна грань с 6-ю точками. Начиная с какого по счету броска, вероятность того, что выпадет именно эта грань, будет наиболее велика, чем иной результат?

Приведем содержание второй задачи. Теперь одновременно подбрасываются две одинаковые игральные кости. Начиная с какого броска вероятность того, что одновременно выпадут две шестерки, будет наиболее велика?

Паскаль завязал переписку с Ферма по поводу этих, а также некоторых других аналогичных задач, результатом чего явилось установление ими некоторых общих положений, которые в дальнейшем легли в основу теории вероятностей.

Чуть позже к ним присоединился приехавший в Париж Гюйгенс, выпустивший в 1657 г. книгу «О расчетах при азартных играх», явившуюся первой крупной работой по теории вероятности.

Возвратимся к двум задачам, поставленных де Мере, и постараемся с вами их решить.

1-я задача кавалера де Мере с подбрасыванием одной игральной кости. При первом броске вероятность выпадания любой из шести граней равна 1/6.

Следовательно, вероятность того, что грань с желательным для вас результатом (грань с шестью точками) не выпадет: Q = 5/6.

При втором броске эта вероятность нежелательного результата будет равна:

Q = (5/6)·(5/6) = 25/36 = 0,69444.

Следовательно, желаемый для вас результат при общей вероятности всех событий, равной 1, составит: Р = 1 – Q = 0,30556.

Продолжим наши рассуждения согласно данному алгоритму.

При 3-м броске: Q =(5/6) 3 = 0,57870 и Р = 1 – Q = 0,42130.

При 4-м броске: Q =(5/6) 4 = 0,48225 и Р = 1 – Q = 0,51775.

При 5-м броске: Q =(5/6) 5 = 0,40188 и Р = 1 – Q = 0,59812.

Прервем наши вычисления. Из них видно, что уже после 4-го броска игральной кости вероятность того, что мы получим желаемый результат превысит противоположный в отношении 0,51775 : 0,48225=1,0736 раза, а после 5-го в 1,4883 раза.

Итак, если вы вступите в подобную игру, то знайте, что только после четырех подбрасываний игральной кости задуманная вами цифра начнет приносить успех и вероятность выигрыша превысит вероятность проигрыша.

Отталкиваясь от полученного результата, на основе метода индукции составим общую формулу расчета вероятности наступления события при подобного рода играх или протекании каких-либо аналогичных событий, укладывающихся в рассмотренную схему:

где К – число вариантов разных равновероятностных ситуаций, N – число повторения выбранного варианта.

По формуле (2), задавшись вероятностью Р наступления ожидаемого события, можно рассчитать требуемое число вариантов испытаний N.

Рассмотрим такой пример. Вы пришли в казино. Перед вами круг, на котором написаны цифры от 1 до К. В каждом сеансе игры вы ставите на одну и ту же цифру. Как связана вероятность выигрыша с числом ваших ставок?

Результаты расчета числа испытаний по формуле (2) при числе угадываемых вариантов К=10 в зависимости от значения вероятности выигрыша Р в пределах от 0,1 до 0,9 приведены в таблице 1. Вычисленные значения числа испытаний N округлены до целого числа в большую сторону (значения М).

Вероятность Р 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Число испытаний N 1 2,1 3,4 4,8 6,6 8,7 11,4 15,3 21,9
Целое число М 1 3 4 5 7 9 12 16 22

Аналогичные результаты расчета при числе угадываемых вариантов К=50 и разных значениях вероятности Р от 0,1 до 0,9 приведены в табл. 2.

Вероятность Р 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Число испытаний N 5,2 11,0 17,7 25,3 34,3 45,4 59,6 79,7 114
Целое число М 6 12 18 26 35 46 60 80 114

Из полученных данных следует, например, что для выигрыша с вероятностью не менее 0,5 требуется провести при К=10 не менее 7 игр, а при К=50 – 35 игр.

Тупылев Иван Филиппович (1758-1821), Плутовская игра

2-я задача кавалера де Мере с подбрасыванием двух игральных костей. Здесь условия игры усложнены.

Одновременно подбрасываются две игральные кости. Выигрыш считается в том случае, когда одновременно на обеих костях выпадет одно и то же число, например, 6.

При первом броске вероятность выпадания любой из шести граней равна 1/6, а следовательно, вероятность одновременного выпадания одной и той же грани на обеих игральных костях равна 1/36.

Значит, вероятность того, что грань с желательным для вас результатом (грань с шестью точками) не выпадет Q = 35/36.

При втором броске эта вероятность нежелательного результата уже составит:

Q = (353/6)·(35/36) = 0,945216.

Следовательно, желаемый для вас результат (обе грани с шестью точками) при общей вероятности всех событий, равной 1, составит:

Р = 1 – Q = 0,054784.

Продолжим наши рассуждения согласно данному алгоритму.

Читайте также:  Спины в казино

При 3-м броске: Q =(35/36) 3 = 0,918960 и Р = 1 – Q=0,08104 .

При 4-м броске: Q =(35/36) 4 = 0,893433 и Р = 1 – Q=0,106567.

При 5-м броске: Q =(35/36) 5 = 0,868615 и Р = 1 – Q=0,131385 .

Отталкиваясь от полученного результата, на основе метода индукции снова составим общую формулу по расчету вероятности наступления события при подобного рода играх или протекании каких-либо аналогичных событий, укладывающихся в рассмотренную схему:

Согласно формуле (4) рассчитаем требуемое число проведения испытаний N, округляемое затем до целого числа М, при числе угадываемых вариантов К=6 (случай, предложенный к рассмотрению кавалером Мере) в зависимости от значения вероятности выигрыша Р.

Результаты такого расчета при изменении вероятности Р от 0,1 до 0,9 и К=6 приведены в таблице 3.

Вероятность Р 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Число испытаний N 3,7 7,9 12,7 18,1 24,6 32,5 42,7 57,1 81,7
Целое число М 4 8 13 19 25 33 43 58 82

Из полученных данных следует, что при одновременном подбрасывании двух игральных костей вероятность выигрыша превысит 0,5 только после 25-го броска. Именно такой результат получил Паскаль. Сам кавалер де Мере ошибся на единицу, указав цифру 24.

Конечно, нельзя считать, что теория вероятностей возникла только как отклик на вопросы, выдвинутые азартными играми. Тому были куда более веские причины, такие как необходимость обрабатывать разнообразные статистические данные и потребности страховых обществ в европейских государствах.

Просто случай с кавалером де Мере более ярко высвечивает истоки возникновения новой теории. Тем более что сам Блез Паскаль был человеком исключительно высоких нравственных качеств, значительную часть жизни прожившим в монастыре Пор-Рояль, принадлежавший ордену «Святого Бенедикта».

Паскаль знаменит не только как математик и физик, но и как философ и публицист. Изданная на многих языках книга «Мысли господина Паскаля о религии и некоторых других вопросах, найденные после его смерти в его бумагах» внесла неоценимый вклад в становление европейской цивилизации (см. О французском ученом и философе Блезе Паскале).

Из всего изложенного можно сделать такой вывод: изучайте теорию вероятностей, но не увлекайтесь азартными играми. Надежного пути выигрыша в них нет и быть не может. Там, где правит случай, всё носит вероятностный характер.

В.И. Каганов , доктор технических наук, профессор МИРЭА

Многие азартные игроки тратят годы на то, чтобы найти универсальный рецепт выигрыша в казино. Они пробуют то одну, то другую систему, радуются, если хотя бы одна из них приносит какие-то результаты. Можно ли на самом деле точно угадать число, которое выпадет на рулетке или на брошенных на зеленое сукно костях? Сделать это очень сложно, но если иметь представление о теории вероятности, то шансы существенно повышаются.

Что же такое теория вероятности?

Теория вероятности – это одна из математических дисциплин, главным оружием которой являются специальные формулы. Именно они дают возможность предсказать выпадение того или иного числа. Но разрабатывалась эта самая теория совсем не для азартных игр. Ее основное предназначение – рассчитывать вероятность того или иного события в самых различных сферах нашей жизни. Но если уметь оперировать формулами, можно свести к минимуму количество ошибок, совершаемых в процессе принятия важных решений.

Впоследствии оказалось, что теория отлично подходит и для игры в казино. Да, она не дает возможность точно указать на тот сектор рулетки, на котором остановится шарик. Но если вы будете знать, что вероятность выпадения числа 15 составляет всего 5 процентов, то вряд ли сделаете на него ставку.

Чтобы добиться высокой точности вычислений, недостаточно просто знать формулы. Кроме того, нужно потратить немало времени на сбор и обработку информации. Ведь чем больше данных вы получите о той или иной игре, тем вероятнее будет получение выигрыша. Всю полученную информацию необходимо либо записывать, либо вносить в специальные программы, разработанные для того, чтобы облегчить жизнь игрокам.

Как избежать ошибок в расчетах?

К теории вероятности обращаются многие игроки, но далеко не все из них могут похвастаться хорошими результатами? Почему возникает сбой, почему у одних формулы работают, а у других нет? Просто для получения точного прогноза на то или иное событие нужно стараться следовать приведенным ниже рекомендациям:

  • не следует слепо полагаться на выигрышные комбинации и числа, которые выпадали ранее. Они нужны исключительно для математического анализа, но верить в то, что после красного выпадает черное или наоборот может лишь абсолютный профан в азартных играх;
  • не стоит рисковать, делая ставки на те числа, выпадение которых маловероятно. Да, они способны приносить большой выигрыш, но возможность проиграть значительно выше. Если вы практикуете рисковые ставки, просто необходимо иметь свою стратегию, позволяющую компенсировать потери;
  • играть совсем без риска тоже нельзя. Игрок, который ставит на те сектора, которые должны выпасть с больше вероятностью, рано или поздно совершает ошибку. И тогда сумма проигрыша оказывается больше всех предыдущих выигрышей. Рискуйте, но делайте это с умом.

Еще одна категория игроков, которые никак не могут одержать победу – это те, кто вообще не верит в теорию вероятности и какие-либо формулы. Они ориентируются только на подсказки собственной интуиции. Это неправильный подход, так как отказываясь от расчетов вы добровольно лишаете себя дополнительных шансов на выигрыш. В конечном итоге это приводит к не очень радостным результатам.

Верить или не верить в формулы, которые используются для вычисления вероятности того или иного события – личное дело каждого игрока. Важно лишь помнить, что от неверия сама теория никуда не исчезает, она существует и вполне может стать мощным дополнительным оружием, позволяющим одерживать победу за победой. Достаточно только грамотно использовать ее и четко следовать своей стратегии игры.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *