Система счисления фибоначчи реферат

Введение

Фибоначчиева система счисления — смешанная система счисления для целых чисел на основе чисел Фибоначчи F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8 и т.д.

Число Запись
в ФСС
Код
Фибоначчи
……
F2=1 1 1 1
F3=2 10 01 1
F4=3 100 001 1
4 101 101 1
F5=5 1000 0001 1
6 1001 1001 1
7 1010 0101 1
F6=8 10000 00001 1
Fn-1 101010 010101 1
Fn 10……00 00……01 1
Fn+1 10……01 10……01 1

1. Представление натуральных чисел

Любое неотрицательное целое число можно единственным образом представить через последовательность битов …εk…ε4ε3ε2: , причём последовательность <εk> содержит лишь конечное число единиц, и не имеет пар соседних единиц: . За исключением последнего свойства, данное представление аналогично двоичной системе счисления.

1.1. Обоснование

В основе лежит теорема Цекендорфа [1] — любое неотрицательное целое число представимо в виде суммы некоторого набора чисел Фибоначчи, не содержащего пары соседних чисел Фибоначчи. Причём представление такое единственно.

Доказательство существования легко провести по индукции. Любое целое число попадёт в промежуток между двумя соседними числами Фибоначчи, то есть для некоторого верно неравенство: . Таким образом, a = Fn + a‘ , где , так что разложение числа a‘ уже не будет содержать слагаемого Fn − 1 .

1.2. Использование

1.2.1. Юпана

Предполагают, что некоторые разновидности юпаны (абака инков) использовали фибоначчиеву систему счисления, чтобы минимизировать необходимое для вычислений число зёрен [2] .

1.2.2. В теории информации

На основе фибоначчиевой системы счисления строится код (кодирование) Фибоначчи — универсальный код для натуральных чисел (1, 2, 3…), использующий последовательности битов. Поскольку комбинация 11 запрещена в Фибоначчиевой системе счисления, её можно использовать как маркер конца записи. Для составления кода Фибоначчи по записи числа в фибоначчиевой системе счисления следует переписать цифры в обратном порядке (так, что старшая единица оказывается последним символом) и приписать в конце ещё раз 1 (см. таблицу). То есть, кодовая последовательность имеет вид:

где n — номер самого старшего разряда с единицей.

1.3. Арифметика

Сложение чисел в позиционных системах счисления выполняется с использованием переноса, позволяющего устранять последствия переполнения разряда. Например, в двоичной системе: 01 + 01 = 0 2 = 10 .

В фибоначчиевой системе счисления дело обстоит сложнее:

  • Во-первых, вес старших разрядов не является кратным весу разряда, из которого требуется перенос. При сложении двух единиц в одном разряде требуется перенос не только влево, но и вправо: 0 2 00 = 1001 . При переносе в отсутствующие разряды ε1 и ε следует помнить, что F1=1=F2 и F=0.
  • Во-вторых, требуется избавляться от соседних единиц: 0 11 = 100 . Правило для раскрытия двоек является следствием этого равенства: 0 2 00 = 0100 + 00 11 = 0 11 1 = 1001 .

2. Обобщение на вещественные числа

Число Представление
через
степени
1 1,
2 10,01
3 100,01
4 101,01
5 1000,1001
6 1010,0001
7 10000,0001
8 10001,0001
9 10010,0101
10 10100,0101
11 10101,0101
12 100000,101001
13 100010,001001
14 100100,001001

Похожее устройство имеет позиционная система счисления с иррациональным основанием, равным золотому сечению .

Любое вещественное число x из отрезка [0,1] допускает разложение в ряд через отрицательные степени золотого сечения:

где <εk> обладает тем же свойством отсутствия соседних единиц. Коэффициенты находятся последовательным сравнением x с — золотым сечением отрезка [0,1], вычитанием (если εk=1) и умножением на . Из этого нетрудно видеть, что любое неотрицательное вещественное число допускает разложение:

где N таково, что . Разумеется, следует считать что для всех .

Эти формулы полностью аналогичны формулам для обычных позиционных систем с целыми основаниями. Оказывается, что любое неотрицательное целое число (и, более общо, всякий неотрицательный элемент кольца ) имеет представление лишь с конечным количеством единиц, то есть в виде конечной суммы неповторяющихся степеней золотого сечения. [3]

Аналогия между числами Фибоначчи и степенями золотого сечения основана на одинаковой форме тождеств:

Читайте также:  Фишка gold

позволяющих устранение соседних единиц. Прямой связи между представлением натуральных чисел в системе золотого сечения и в фибоначчиевой не имеется.

Правила сложения аналогичны показанным выше с той поправкой, что перенос в сторону младших разрядов распространяется без ограничения. В данной системе счисления можно производить и умножение.

3. Фибоначчиево умножение

Для целых чисел и можно определить «умножение» [4]

которое аналогично умножению чисел в двоичной системе счисления.

Разумеется, данная операция не является настоящим умножением чисел, и выражается формулой: [5]

где — целая часть, — золотое сечение.

Эта операция обладает ассоциативностью, на что впервые обратил внимание Дональд Кнут. [6] Следует отметить, что другое «произведение» отличающееся лишь сдвигом на два разряда, уже не является ассоциативным.

Администрации Орехово-Зуевского муниципального района Московской области

МОУ “Кабановская СОШ”

Реферат по математике

Работу выполнил ученик 7 «Б» класса:

Азаров Сергей Владимирович

Учитель: Королева Татьяна Андреевна

Определение последовательности Фибоначчи ………………………………… 5

Свойства последовательности Фибоначчи ……………………………………. 7

Золотое сечение, спираль Фибоначчи ………………………………………….. 7

Некоторые приложения чисел Фибоначчи в природе, архитектуре, космосе .. 8

Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества.

Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… Суть последовательности Леонардо заключается в том, что, после двух первых членов 1,1 каждое следующее число, получается сложением двух предыдущих. Эта последовательность чисел была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые числами Фибоначчи, и это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.

Цель настоящего реферата – знакомство с числами Фибоначчи и историей их открытия; изучение свойств чисел Фибоначчи; изучение областей их применения.

1. Историческая справка

Леонардо Пизанский (Фибоначчи)

Дата рождения: ок. 1170 года

Место рождения: Пиза

Цата смерти: ок. 1250 года

Место смерти: Пиза

Научная сфера: Математика

Известен как пропагандист десятичной системы счисления и использования арабских цифр.

Леонардо Пизанский первый средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи <Fibonacci ). О происхождении этого псевдонима имеются разные версии. По одной из них, его отец Гильермо имел прозвище Боначчи <«Благонамеренный»), а сам Леонардо прозывался filius Bonacci («сын Благонамеренного»). По другой, Fibonacci происходит от фразы Figlio Виопо Nato Ci , что в переводе с итальянского означает «хороший сын родился». Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Позже посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Леонардо изучал труды математиков стран ислама (таких как ал-Хорезми и Абу Камил); по арабским переводам он ознакомился также с достижениями античных и индийских математиков. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака» ( Liber abaci , 1202; до наших дней сохранилась только дополненная рукопись 1228 г.). Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной.

«Практика геометрии» ( Practica geometriae , 1220) содержит разнообразные теоремы, относящиеся к измерительным методам. Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные — например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло). В трактате «Цветок» ( Flos , 1225) Фибоначчи исследовал кубическое уравнение. «Книга квадратов» ( Liber quadratorum , 1225), содержит ряд задач на решение неопределённых квадратных уравнений.

2. Определение последовательности Фибоначчи

Сообщаемый в “Книге абака” материал Леонардо поясняет на большом числе задач, составляющих значительную часть этого тракта. Рассмотрим одну из них: “Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рожают кролики со второго месяца после своего рождения”.

Читайте также:  Правила игры париматч

Ясно, что если считать пару кроликов новорожденными, то на 2-й месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц – 1+1=2; на 4-й – 2+1=3 пары (ибо из двух имеющихся пар потомство даёт лишь одна пара); на 5-й месяц – 3+2=5 пар (лишь два родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на пятый месяц); на 6-й месяц – 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.

Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-месяце через u k, u 1=1, u 2=1, u 3=2, u 4=3, u 5=5, u 6=8, u 7=13, u 8=21 и т. д. причем образование этих чисел регулируется общим законом:

В итоге получается такая последовательность: 1,1, 2, 3, 5, 8,13,21,34, 55, 89, 144, 233, 377, где через запятую показано количество пар кроликов в каждом из двенадцати месяцев. Эту последовательность можно продолжать бесконечно долго. Числа, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …называются числами Фибоначчи, а сама последовательность – последовательностью Фибоначчи.

С
уть последовательности Фибоначчи заключается в том, что, после двух первых членов 1,1 каждое следующее число, получается сложением двух предыдущих.

Этот числовой ряд был известен ещё в Древней Индии задолго до Фибоначчи. Своё нынешнее название числа Фибоначчи получили благодаря исследованию свойств этих чисел, проведённому Леонардо.

3. Свойства последовательности Фибоначчи

У этой последовательности есть ряд математических особенностей.

О
тношение какого-либо элемента последовательности к предшествующему ему колеблется около числа 1,618…, через раз, то превосходя, то не достигая его:

Отношение какого-либо элемента последовательности к последующему приближается к числу 0,618…, что обратно пропорционально числу 1,618…

Если делить элементы последовательности через один, то получим числа 2,618… и 0,382…, которые так же являются взаимно обратными числами.

Каждое третье число чётное, каждое четвёртое делится на 3, каждое пятое – на 5, каждое пятнадцатое – на 10.

Невозможно построить треугольник, сторонами которого являются числа ряда Фибоначчи (никакое число ряда не может повторяться дважды).

4. Золотое сечение. Спираль Фибоначчи

Иррациональное число "фи" (Ф=1,618…) – «Золотое сечение», «Золотое среднее», «Отношение вертящихся квадратов», 0,618… – «Золотая пропорция».

Фибоначчи по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое сечение.

Золотое сечение – высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе. Если на простом примере, то Золотое Сечение -это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей.

b
: а = с : b или a : b = b : c

Если принять весь отрезок с за 1, то отрезок b , будет равен 0,618, отрезок а будет равен 0,382, только так будет соблюдено условие Золотого Сечения (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Отношение с к b равно 1,618, а с к а равно 2,618. Это всё те же, уже знакомые нам, коэффициенты Фибоначчи.

Е
сли взять прямоугольник с длиной и шириной равными двум соседним числам Фибоначчи, то получится «Золотой прямоугольник». Если разбить его на более мелкие прямоугольники с размерами, соответствующими двум соседним числам Фибоначчи и разделить каждый из них дугой, то система начнет приобретать некоторую форму в виде спирали.

5. Некоторые приложения чисел Фибоначчи в природе, архитектуре, космосе

Еще немецкий поэт Гёте подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Спираль видна в ананасах, кактусах и т.д. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган.

Чешуйки на поверхности сосновой шишки расположены строго закономерно – по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21. Расположение семян в подсолнечнике и цветов броколли – идеальная последовательность спиралей

Читайте также:  Почему не работает казино 777

Расстояние между листьями (или ветками на стволе растения) относятся примерно как числа Фибоначчи.

В

о всех внешних и внутренних пропорциях пирамид в Гизе и пирамидах Майя в Мексике число 1,618… играет центральную роль.

С

амый потрясающий пример спиралей находится прямо над нашими головами на расстоянии приблизительно в 100 000 световых лет.

Даже спирали галактик сформировались по абсолютно тому же принципу, как и крошечная раковина!

В результате работы я познакомился с числами Фибоначчи, изучил их некоторые свойства

Числа Фибоначчи – это красиво, серьёзно, актуально

Числа Фибоначчи имеют различное проявление в природе, архитектуре, космосе

При выполнении работы я убедился, что природа сама творит красоту по законам математики.

Депман И., Рассказы о математике, Детгиз, Ленинград, 1954

Кардемский Б.А., Математическая смекалка, М., Наука, 1984

Энциклопедический словарь юного математика, М., Педагогика, 1989

Понятие рекуррентной нерекуррентной формул. Некоторые свойства чисел последовательности Фибоначчи. Система счисления, основанная на числах Фибоначчи. Схема прибавления, принцип перехода к следующей последовательности. Числа Каталана, элементы массива.

Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

Рубрика Математика
Вид презентация
Язык русский
Дата добавления 26.09.2017
Размер файла 625,7 K

Подобные документы

Классическая последовательность чисел Фибоначчи, определение основных понятий, схематическое изображение этой последовательности, ее свойства. Упорядочивание, вычисление элементов последовательности. Некоторые зависимости между мнимыми тройками.

реферат [82,2 K], добавлен 07.09.2009

Фибоначчи Леонардо Пизанский — первый крупный математик средневековой Европы. Ряд чисел Фибоначчи – элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Примеры ряда Фибоначчи в повседневной жизни.

доклад [25,5 K], добавлен 24.03.2012

Рассмотрение некоторых числовых последовательностей, заданных рекуррентно, их свойств и задач с ними связанных. Теория возвратных последовательностей. Свойства последовательности Фибоначчи и ее золотое сечение. Исследование последовательности Каталана.

реферат [812,1 K], добавлен 03.05.2015

Изучение последовательности чисел Фибоначчи. Вклад в математику Леонардо Пизанского. Золотое сечение в жизни и в природе, ее геометрическое изображение. Построение точки, делящей отрезок единичной длины. Золотой прямоугольник и спираль Фибоначчи.

презентация [421,5 K], добавлен 15.06.2017

Математическое описание последовательности чисел Фибоначчи. Представление фрагмента корзины "Гармония Мироздания" как образца формирования числовых рядов. Особенности построения живой спирали "Китовраса", ее практическое применение в древнем мире.

доклад [6,4 M], добавлен 16.01.2011

Спиральная последовательность квадратов чисел. Последовательность чисел Фибоначчи и "золотое сечение" Леонардо да Винчи. Живые и неживые числа. Общая корзина "Гармонии Мироздания". Показательная спираль живой органики или спираль "Китовраса".

статья [4,1 M], добавлен 18.04.2012

Жизнь и деятельность известного итальянского математика позднего Средневековья Леонардо из Пизы, известного как Фибоначчи. Последовательность цифр, именуемая рядом Фибоначчи, ее свойства. Коэффициент пропорциональности, называемый золотым сечением.

презентация [159,5 K], добавлен 29.11.2011

Понятие системы счисления. История развития систем счисления. Понятие натурального числа, порядковые отношения. Особенности десятичной системы счисления. Общие вопросы изучения нумерации целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики.

курсовая работа [46,8 K], добавлен 29.04.2017

Ознакомление с историей появления метода золотого сечения. Рассмотрение основных понятий и алгоритма выполнения расчетов. Изучение метода чисел Фибоначчи и его особенностей. Описание примеров реализации метода золотого сечения в программировании.

курсовая работа [416,0 K], добавлен 09.08.2015

Система счисления, применяемая в современной математике, используемые в ЭВМ. Запись чисел с помощью римских цифр. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления. Перевод дробных и смешанных двоичных чисел. Арифметика в позиционных системах счисления.

реферат [75,2 K], добавлен 09.07.2009

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *