Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. Теорема Виета.
Квадратным уравнением называется уравнение вида
,
a,b,c – постоянные (числовые) коэффициенты.
В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:
| Формула дискриминанта: |  . |
О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :
- D>0 – уравнение имеет 2 различных вещественных корня
- D=0 – уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
- D 2 .
Пример: если x = 10, y = 5a
(10 + 5a) 2 = 10 2 + 2.10.5a + (5a) 2 = 100 + 100a + 25a 2
(10 – 4) 2 = 10 2 – 2.10.4 + 4 2 = 100 – 80 + 16 = 36
Конечно, если мы имеем следующую ситуацию:
25 + 20a + 4a 2 = 5 2 + 2.2.5 + (2a) 2 = (5 + 2a) 2
Пример: (1 + a 2 ) 3 = 1 3 + 3.1 2 .a 2 + 3.1.(a 2 ) 2 + (a 2 ) 3 = 1 + 3a 2 + 3a 4 + a 6
x 2 – y 2 = (x – y)(x + y)
x 2 + y 2 = (x + y) 2 – 2xy
или
x 2 + y 2 = (x – y) 2 + 2xy
Пример: 9a 2 – 25b 2 = (3a) 2 – (5b) 2 = (3a – 5b)(3a + 5b)
Если n есть чётное (n = 2k)
Если n есть нечётное (n = 2k + 1)
Более формулы
Задачи с формулами сокращенного умножения
1) Решите уравнение: x 2 – 25 = 0
Решение: x 2 – 25 = (x – 5)(x + 5)
=> чтобы решить это уравнение мы должны решить 2 следующих выражения:
x – 5 = 0 или x + 5 = 0 и поэтому уравнение имеет два решения: x = 5 и x = -5
Найти отклонение какой-то величины (числа) от среднего арифметического (x-хср) осуществляется просто. Находим среднее арифметическое по обычной формуле. К примеру
Точно также находим квадрат отклонения (Х–Хср)2 = 49.